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🌼 Dynamic Programming (다이나믹 프로그래밍/동적 계획법)

🌼 다이나믹프로그래밍

• 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법
• 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 한다.
• DP의 구현은 일반적으로 두 가지가 있다.
  • 상향식(Bottom Up)
  • 하향식(Top Down)
• 다이나믹 프로그래밍은 동적 계획법이라고도 부른다.
• 프로그래밍 분야에서의 Dynamic?
  • 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 '프로그래밍 실행되는 도중 필요한 메모리할당 기법'이다.
  • 반면, Dynamic Programming의 Dynamic은 별다른 의미 없이 사용한다.

🌼 다이나믹프로그래밍의 조건

• 다이나믹 프로그래밍은 문제가 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있다.

1. 최적 부분 조건(Optimal Substructure):
   • 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며, 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.
2. 중복되는 부분 문제(Overlapping Subproblem)
   • 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.

🌼 피보나치 수열

• 피보나치 수열은 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있다.

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...

• 점화식이란 인접한 항들의 관계식을 의미
• 피보나치 수열의 점화식
  • An = An-1 + An-2, A1 = 1, A2 = 1
•  피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있다.
• n번째 피보나치 수를 f(n)이라고 할 때, 4번째 피보나치수 f(4)를 구하는 과정은 다음과 같다.

def fibo(x):
	if x == 1 or x == 2:
    	return 1
	return fibo(x-1) + fibo(x-2)
print(fibo(4))

🌼 피보나치 수열의 시간복잡도

• 단순 재귀함수로 구현하게 되면 지수 시간 복잡도를 가지게 된다.
• f(x)가 여러번 호출되는 것을 확인할 수 있다. (중복되는 문제)
• 시간복잡도: O(2^N)

🌼 피보나치 수열의 효율적인 해법: 다이나믹 프로그래밍

• DP 사용조건을 만족하는지 확인
  • 최적부분구조: 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
  • 중복되는문제: 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결
• 피보나치수열은 DP 사용 조건을 만족한다.

🌼 메모제이션(memozation)

• 메모제이션은 DP 구현 방법중 하나이다.
• 한번 해결한 결과를 메모리제 저장하는 기법
• 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져옴.
• 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 한다.

🌼 Top Down vs Bottom Up

• 탑다운(메모제이션) 방식은 하향식이라고도 하며, 바텀업은 상향식이라고도 한다.
• DP의 전형적인 형태는 바텀업 방식이다.
  • 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부른다.
• 엄밀히 말하면 메모제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 저장해 놓는 개념을 의미한다.
  • 따라서 메모제이션은 DP에 국한된 개념은 아니다.
  • 한번 계산된 결과를 담아 놓기만하고 DP에 활용하지 않을 수도 있다.

1️⃣ Top Down(하향식)

dp = [0] * 100

def fibo(x):
	if x == 1 or x == 2:
    	return 1
	if dp[x] != 0:
    	return dp[x]
	dp[x] = fibo(x-1) + fibo(x-2)
    return dp[x]

2️⃣ Bottom Up(상향식)

dp = [0] * 100

d[1] = 1
d[2] = 1

for x in range(3, n + 1):
	dp[x] = dp[x-1] + dp[x-2]
print(dp[n])

🌼 다이나믹프로그래밍 vs 분할정복

• DP와 분할정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있다.
• 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며, 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
• DP와 분할정복의 차이점은 부분문제의 중복이다.
• 분할정복은 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않는다.

• 분할 정복의 대표적인 예시인 퀵정렬을 살펴보겠다.
  • 한 번의 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않는다.
  • 분할 이후에 해당 Pivot을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않는다.

🌼 DP문제에 접근하는 방법

• 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요하다.
• 가장 먼저, 그리디, 구현, 완전탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지를 검토
  • 다른 알고리즘 풀이가 떠오르지 않는다면 DP를 고려
• 일단 재귀함수로 비효율적인 완전탐색 프로그램을 작성한 뒤에(탑다운) 작은문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그래도 사용될수 있으면, 코드를 개선
• 일반적인 코딩테스트 수준에서는 기본 유형의 DP 문제를 출제

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1. 이진 탐색 이론 및 구현

🌼 이진 탐색 기초 문제 풀이

📄 <문제 1> 떡볶이 떡 만들기: 문제 설명

• 오늘 00이는 여행 가신 부모님을 대신해서 떡집 일을 하기로 했습니다. 오늘은 떡볶이 떡을 만드는 날입니다. 00이네 떡볶이 떡은 재밌게도 떡볶이 떡의 길이가 일정하지 않습니다. 대신에 한 봉지 안에 들어가는 떡의 총 길이는 절단기로 잘라서 맞춰줍니다.
• 절단이 높이(H)를 지정하면 줄지어진 떡을 한 번에 절단합니다. 높이가 H보다 긴 떡은 H위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 떡은 잘리지 않습니다.
• 예를 들어 높이가 19, 14, 10, 17cm인 떡이 나란히 있고 절단기 높이를 15cm로 지정하면 자른 뒤 떡의 높이는 15, 14, 10, 15cm가 될 것입니다. 잘린 떡의 길이는 차례대로 4, 0, 0, 2cm입니다. 손님은 6cm 만큼의 길이를 가져갑니다.
• 손님이 왔을 때 요청한 총 길이가 M일 때 적어도 M만큼의 떡을 얻기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최대값을 구하는 프로그램 작성

💡 문제 풀이 아이디어

• 적절한 높이을 찾을 때까지 이진 탐색을 수행하여 높이 H를 반복해서 조정하면 된다.
• '현재 이 높이로 자르면 조건을 만족할 수 있는가?'를 확인한 뒤에 조건의 만족 여부('예' 혹은 '아니오')에 따라서 탐색 범위를 좁혀서 해결할 수 있다.
• 절단기의 높이는 0부터 10억까지의 정수 중 하나이다.
  • 이렇게 큰 탐색 범위를 보면 가장 먼저 이진 탐색을 떠올려야 한다.
• 문제에서 제시된 예시를 통해 그림으로 이해해 보자.

• 이러한 이진 탐색 과정을 반복하면 답을 도출할 수 있습니다.
• 중간점의 값은 시간이 지날수록 '최적화된 값'이 되기 때문에, 과정을 반복하면서 얻을 수 있는 떡의 길이 합이 필요한 떡의 길이보다 크거나 같을 때마다 중간점의 값을 기록하면 된다.

✅ 내가 작성한 코드

N, M = map(int, input().split())
ddeok = list(map(int, input().split()))
ddeok.sort()

start = 0
end = max(ddeok)

while start <= end:
    mid = (start + end) // 2

    result = 0
    for d in ddeok:
        if d - mid > 0:
            result += d - mid
    if result > M:
        start = mid + 1
    elif result < M:
        end = mid - 1
    else:
        print(mid)
        break

✅ 제시된 정답 코드

n, m = list(map(int, input().split()))

array = list(map(int, input().split()))

start = 0
end = max(array)

result = 0
while (start <= end):
    total = 0
    mid = (start + end) // 2
    for x in array:
        if x > mid:
            total += x - mid
    if total < m:
        end = mid - 1
    else:
        result = mid
        start = mid + 1
print(result)

📄 <문제 2> 정렬된 배열에서 특정 수의 개수 구하기: 문제 설명

• N개의 원소를 포함하고 있는 수열이 오름차순으로 정렬되어 있습니다. 이때 이 수열에서 x가 등장하는 횟수를 계산하세요. 예를 들어 수열 {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3}이 잇을 때 x = 2 라면, 현재 수열에서 값이 2인 원소가 4개이므로 4를 출력합니다.
• 단, 이 문제는 시간 복잡도 O(logN)으로 알고리즘을 설계하지 않으면 시간 초과 판정을 받는다.

💡 문제 풀이 아이디어

✅ 제시된 정답 코드

from bisect import bisect_left, bisect_right

def count_by_range(array, left_value, right_value):
    right_index = bisect_right(array, right_value)
    left_index = bisect_left(array, left_value)
    return right_index - left_index

n, x = map(int, input().split())
array = list(map(int, input().split()))

count = count_by_range(array, x, x)
if count == 0:
    print(-1)
else:
    print(count)

🌼 Binary Search (이분 탐색)

🌼 이진 탐색 알고리즘

• 순차 탐색: 리스트 안에 있는 특정한 데이터를 찾기 위해 앞에서부터 데이터를 하나씩 확인하는 방법
• 이진 탐색: 정렬되어 있는 리스트에 탐색 범위를 절반씩 좁혀가며 데이터를 탐색하는 방법
  • 이진 탐색은 시작점, 끝점, 중간점을 이용하여 탐색 범위를 설정합니다.

🌼 이진 탐색 동작 예시

• [Step 1] 시작점: 0, 끝점: 9, 중간점: 4 (소수점 이하 제거)

• [Step 2] 시작점: 0, 끝점: 3, 중간점: 1 (소수점 이하 제거)

• [Step 3] 시작점: 2, 끝점: 3, 중간점: 2 (소수점 이하 제거)

🌼 이진 탐색의 시간 복잡도

• 단계마다 탐색 범위를 2로 나누는 것과 동일하므로 연산 횟수는 log2N에 비례합니다.
• 예를 들어 초기 데이터 개수가 32개일 때, 이상적으로 1단계를 거치면 16개 가량의 데이터만 남습니다./
  • 2단계를 거치면 8개가량의 데이터만 남습니다.
  • 3단계를 거치면 4개가량의 데이터만 남습니다.
• 다시 말해 이진 탐색은 탐색 범위를 절반씩 줄이며, 시간 복잡도는 O(logN)을 보장합니다.

✅ 재귀로 구현

def binary_search(array, target, start, end):
    if start > end:
        return None
    mid = (start + end) // 2

    if array[mid] == target:
        return mid
    elif array[mid] > target:
        return binary_search(array, target, start, mid - 1)
    else:
        return binary_search(array, target, mid + 1, end)

n, target = map(int, input().split())

array = list(map(int, input().split()))

result = binary_search(array, target, 0, n - 1)
if result == None:
    print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
    print(result + 1)

✅ 반복문으로 구현

n, target = map(int, input().split())

array = list(map(int, input().split()))

start = 0
end = n-1

result = None
while start <= end:
    mid = (start + end) // 2
    if array[mid] < target:
        start = mid + 1
    elif array[mid] > target:
        end = mid - 1
    else:
        result = mid
        break
print(None if result == None else result + 1)

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1. 다익스트라 알고리즘 이론 및 구현 코드
2. 플로이드 워셜 알고리즘 이론 및 구현 코드

🌼 최단 경로 알고리즘 기초 문제 풀이

📄 <문제 1> 전보: 문제 설명

• 어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 그리고 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메시지를 전송할 수 있다.
• 하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다. 
• 예를 들어 X에서 Y로 향하는 통로는 있지만, Y에서 X로 향하는 통로가 없다면 Y는 X로 메시지를 보낼 수 없다. 또한 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다.
• 어느날 C라는 도시에서 위급 상황이 발생했다. 그래서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다.
• 메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다.
• 각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주여졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇 개이며 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성하시오.
• 시간제한: 1초
• 메모리 제한: 128MB
• 입력 조건
  • 첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다.
  • (1 <= N <= 30000, 1 <= M <= 200000, 1 <= C <= N)
  • 둘째 줄부터 M+1번째 줄에 걸쳐서 통로에 대한 정보 X, Y, Z가 주어진다. 이는 특정 도시 X에서 다른 특정 도시 Y로 이어지는 통로가 있으며, 메시지가 전달되는 시간이 Z라는 의미이다.
  • (1 <= X, Y <= N, 1 <= Z <= 1000)
• 출력 조건
  • 첫째 줄에 도시 C에서 보낸 메시지를 받는 도시의 총 개수와 총 걸리는 시간을 공백으로 구분하여 출력한다.

💡<문제 1> 전보: 문제 해결 아이디어

• 핵심 아이디어: 한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있다.
• N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘을 구현한다.

✅ <문제 1> 정답 코드

import heapq
from sys import stdin

input = stdin.readline

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0

    while q:
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]:
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for _ in range(n + 1)]

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
INF = int(1e9)

distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보 입력 받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    # x번 노드에서 y번 노드로 가는 비용이 z라는 의미
    graph[x].append((y, z))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0

# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != INF:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)
# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 추렭
print(count - 1, max_distance)

📄 <문제 2> 미래 도시: 문제 설명

• 미래 도시에는 1번부터 N번까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다. 방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.
• 미래 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다. 
• 또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 공중 미래 도시에서 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어 있다면, 정확히 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.
• 또한 오늘 방문 판매원 A는 기대하던 소개팅에도 참석하고자 한다.
• 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다. 방문 판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다. 따라서 방문 판매원 A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표이다.
• 이때 방문 판매원 A는 가능한 한 빠르게 이동하고자 한다.
• 방문 판매원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오.

• 시간제한: 1초
• 메모리 제한: 128MB
• 입력 조건
  • 첫째 줄에 회사의 개수 N과 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 <= N, M <= 100)
  • 둘째 줄부터 M+1번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다.
  • M + 2번째 줄에는 X와 K가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 <= K <= 100)
  • (1 <= X, Y <= N, 1 <= Z <= 1000)
• 출력 조건
  • 첫째 줄에 방문 판매원 A가 K 번 회사를 거쳐 X번 회사로 가는 최소 이동 시간을 출력한다.
  • 만약 X번 최사에 도달할 수 없다면 -1을 출력한다.

💡<문제 2> 미래 도시: 문제 해결 아이디어

• 핵심 아이디어: 전형적인 최단 거리 문제이므로 최단 거리 알고리즘을 이용해 해결한다.
• N의 크기가 최대 100이므로 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 효율적으로 해결할 수 있다.
• 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에 (1번 노드에서 X까지의 최단 거리 + X에서 K까지의 최단 거리)를 계산하여 출력하면 정답 판정을 받을 수 있다.

✅ <문제 2> 정답 코드

from sys import stdin

input = stdin.readline

N, M = map(int, input().split())

INF = int(1e9)

distance = [[INF] * (N+1) for _ in range(N+1)]
for i in range(N+1):
    for j in range(N+1):
        if i == j:
            distance[i][j] = 0


for _ in range(M):
    x, y = map(int, input().split())
    distance[x][y] = 1
    distance[y][x] = 1

for k in range(1, N+1):
    for i in range(1, N+1):
        for j in range(1, N+1):
            distance[i][j] = min(distance[i][j], distance[i][k] + distance[k][j])

X, K = map(int, input().split())

if distance[K][X] == INF:
    print(-1)
else:
    print(distance[1][K] + distance[K][X])