플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
다만, 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단거리 정보를 계산한다.
플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단거리 정보를 계산한다.
플로이드 워셜 알고리즘은 DP 유형에 속한다.
각 단계마다 특정한 노드 K를 거쳐가는 경로를 확인한다.
a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 좋은지 검사
점화식
Dab = min(Dab, Dak + Dkb)
🌼 플로이드 워셜 알고리즘: 동작과정 살펴보기
[초기상태] 그래프를 준비하고, 최단거리 테이블 초기화
[Step1] 1번 노드를 거쳐가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신
위 단계를 반복
🌼 플로이드 워셜 알고리즘 구현 코드
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, n + 1):
if i == j:
graph[i][j] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
if graph[a][b] == INF:
print('INFINITY', end=' ')
else:
print(graph[a][b], end=' ')
print()
그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복
단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
한 다계당 하나의 노드에 대한 최단거리를 확실히 찾는 것
다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단거리 정보가 저장된다.
완변한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.
🌼 다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법
단계 마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)
from sys import stdin
input = stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for _ in range( n + 1 )]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * ( n + 1 )
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a].append((b,c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n+1):
if distance[i] < min_value:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n -1 개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
else:
print(distance[i])
🌼 다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법 - 성능 분석
총 O(V)번에 걸쳐서 최단거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형탐색
따라서 전체 시간복잡도는 O(V^2)이다.
일반적으로 코딩테스트의 최단경로 문제에서 전체 노드의 수가 5000개 이하 이면 이 간단한 구현 방법으로도 가능하다.
그러나 노드가 10000개 이상이라면?
heapq 자료구조를 이용해야 한다.
🌼 우선순위 큐 (Prioirity Queue)
우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.
🌼 힙 (Heap)
우선순위큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.
최소힙(Min Heap)과 최대힙(Max Heap)이 있다.
다익스트라를 포함해 다양한 알고리즘에 사용된다.
🌼 힙 라이브러리 사용 예제: 최소힙
import heapq
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
for value in iterable:
heapq.heappush(h, value)
for i in range(len(h)):
result.append(heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)
# [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
🌼 다익스트라 알고리즘 - 개선된 구현 방법
단계마다 방문하지 않은 노드중에 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(heap) 자료구조를 이용한다.
다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다
현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.
import heapq
from sys import stdin
input = stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for _ in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b,c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한 이라고 출력
if distance[i] == INF:
print('INFINITY')
else:
print(distance[i])
N x M 크기의 얼음 틀이 있습니다. 구멍이 뚫려 있는 부분은 0, 칸막이가 존재하는 부분은 1로 표시됩니다. 구멍이 뚫려 있는 부분끼리 상, 하 , 좌, 우로 붙어 있는 경우 서로 연결되어 있는 것으로 간주합니다.
이때 얼음 틀의 모양이 주어졌을 때 생성되는 총 아이스크림의 개수를 구하는 프로그램을 작성하세요. 다음의 4 x 5 얼음 틀 예시는 아이스크림이 총 3개 생성됩니다.
✅ 문제 풀이 접근 및 내 코드
(0,0)을 start로 BFS를 통해 나누어진 구역의 개수를 카운트 한다.
from collections import deque
n, m = map(int, input().split())
maps = []
# 1. 입력값 세팅
for _ in range(n):
maps.append(list(input().strip()))
# 2. BFS 메소드 정의
directions = [(-1, 0), (0, -1), (0, 1), (1, 0)]
def bfs(maps, cnt):
for i in range(len(maps)):
for j in range(len(maps[0])):
if maps[i][j] == '0':
start = (i, j)
break
queue = deque([start])
maps[start[0]][start[1]] = '1'
while queue:
x, y = queue.popleft()
maps[x][y] = cnt
for dx, dy in directions:
nx, ny = x + dx, y + dy
if 0 <= nx < len(maps) and 0 <= ny < len(maps[0]) and maps[nx][ny] == '0':
queue.append((nx, ny))
maps[nx][ny] = '1'
return maps
def check0(maps):
for m in maps:
if '0' in m:
return True
return False
cnt = 0
while check0(maps):
cnt += 1
maps = bfs(maps, cnt)
print(cnt)
🌼 문제 해결 아이디어 및 해설 풀이 코드
DFS를 활용하는 알고리즘은 다음과 같다.
특정한 지점의 상, 하, 좌, 우를 살펴본 뒤에 주변 지점 중에 값이 '0'이면서 아직 방문하지 않은 지점이 있다면 해당 지점을 방문
방문한 지점에서 다시 상, 하, 좌, 우를 살펴보면서 방문을 진행하는 과정을 반복하면, 연결된 모든 지점을 방문할 수 있다.
모든 노드에 대하여 1~2번의 과정을 반복하며, 방문하지 않은 지점의 수를 카운트 한다.
# DFS로 특정 노드를 방문하고 연결된 모든 노드들도 방문
def dfs(x, y):
# 주어진 범위를 벗어나는 경우에는 즉시 종료
if x <= -1 or x >= n or y <= -1 or y >= m:
return False
# 현재 노드를 아직 방문하지 않았다면
if graph[x][y] == 0:
# 해당 노드 방문처리
graph[x][y] = 1
dfs(x -1, y)
dfs(x, y -1)
dfs(x + 1, y)
dfs(x, y + 1)
return True
return False
# N, M 을 공백을 기준으로 구분하여 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# 2 차원 리스트의 맵 정보 입력 받기
graph = []
for i in range(n):
graph.append(list(map(int, input()))
# 모든 노드(위치)에 대하여 음료수 채우기
result = 0
for i in range(n):
for j in range(m):
# 현재 위치에서 DFS 수행
if dfs(i, j) == True:
result += 1
print(result)
📄 <문제> 미로 탈출: 문제 설명
00이는 N x M 크기의 직사각형 형태의 미로에 갖혔습니다. 미로에는 여러 마리의 괴물이 있어 이를 피해 탈출해야 합니다.
00이의 위치는 (1,1)이며 미로의 출구는 (N, M)의 위치에 존재하며 한 번에 한 칸씩 이동할 수 있습니다. 이때 괴물이 있는 부분은 0으로, 괴물이 없는 부분은 1로 표시되어 있습니다. 미로는 반드시 탈출할 수 있는 형태로 제시됩니다.
이때 00이가 탈출하기 위해 움직여야 하는 최소 칸의 개수를 구하세요. 칸을 셀 때는 시작 칸과 마지막 칸을 모두 포함해서 계산합니다.
✅ 문제 풀이 접근 및 내 코드 >> 최단거리를 구해야 하기 때문에 DFS가 아닌 BFS가 적합
DFS를 활용하여 구현
오른쪽, 아래 이동하는 것을 우선으로 탐색하도록 구현
n, m = map(int, input().split())
maps = []
# 1. 입력값 세팅
for _ in range(n):
maps.append(list(map(int, input())))
directions = [(0, 1), (1, 0), (-1, 0), (0, -1)]
def dfs(maps, start):
stack = [(start)]
visited = set()
visited.add(start)
step = 2
while stack:
x, y = stack.pop()
if x == len(maps)-1 and y == len(maps[0])-1:
maps[x][y] = step
break
if maps[x][y] == 1:
maps[x][y] = step
step += 1
for dx, dy in directions:
nx, ny = x + dx, y + dy
if 0 <= nx < len(maps) and 0 <= ny < len(maps[0]):
if maps[nx][ny] == 1:
stack.append((nx, ny))
break
dfs(maps, (0,0))
print(maps[-1][-1] - 1)
# 5 6
# 101010
# 111111
# 000001
# 111111
# 111111
🌼 문제 해결 아이디어 및 해설 풀이 코드
BFS는 시작 지점에서 가까운 노드부터 차례대로 그래프의 모든 노드를 탐색한다.
상, 하, 좌, 우로 연결된 모든 노드로의 거리가 1로 동일하다.
따라서 (1,1)지점부터 BFS를 수행하여 모든 노드의 최단 거리 값을 기록하면 해결할 수 있다.
from collections import deque
# BFS 소스코드 구현
def bfs(x, y):
# 큐 구현을 위해 deque 라이브러리 사용
queue = deque((x,y))
# 큐가 끝날때까지 반복하기
while queue:
x, y = queue.popleft()
# 현재 위치에서 4가지 방향으로의 위치 확인
for i in range(4):
nx = x + dx[i]
ny = y + dy[i]
if nx < 0 or nx >= n or ny < 0 or ny >= m:
continue
# 벽인 경우 무시
if graph[nx][ny] == 0:
continue
# 해당 노드를 처음 방문하는 경우에만 최단 거리 기록
if graph[nx][ny] == 1:
graph[nx][ny] = graph[x][y] + 1
queue.append((nx, ny))
return grpah[n-1][m-1]
n, m = map(int, input().split())
graph = []
for i in range(n):
graph.append(list(map(int, input())))
dx = [-1, 1, 0, 0]
dy = [0, 0, -1, 1]
print(bfs((0,0)))
BFS는 너비 우선 탐색이라고도 부르며, 그래프에서 가까운 노드부터 우선적으로 탐색하는 알고리즘이다.
BFS는 큐 자료구조를 이용하며, 구체적인 동작 과정은 다음과 같다.
탐색 노드를 큐에 삽입하고, 방문처리한다.
큐에서 노드를 꺼낸 후 해당 노드와 인접한 방문하지 않은 모든 노드를 큐에 삽입하고 방문처리한다.
2번 과정을 더 이상 할 수 없을때까지 반복한다.
사용되는 문제: 각 간선의 비용이 모두 동일한 상황에서 최단거리 찾는문제 등
🌼 구현 코드
from collections import deque
# BFS 메서드 정의
def bfs(graph, start, visited):
# 큐 구현을 위해 deque 라이브러리 사용
queue = deque([start])
# 현재 노드를 방문 처리
visited[start] = True
# 큐다 빌 때까지 반복
while queue:
# 큐에서 하나의 원소를 뽑아 출력하기
v = queue.popleft()
print(v, end=' ')
# 아직 방문하지 않은 인접한 원소들을 큐에 삽입
for i in graph[v]:
if not visited[i]:
queue.append(i)
visited[i] = True
# 각 노드가 연결된 정보를 표현(2차원 배열)
graph = [
[],
[2, 3, 8],
[1, 7],
[1, 4, 5],
[3, 5],
[3, 4],
[7],
[2, 6, 8],
[1, 7]
]
# 정의된 BFS 함수 호출
bfs(graph, 1, visited=[False] * 9)
# 실행 결과
# 1 2 3 8 7 4 5 6
