🌼 Dijkstra Algorithm(다익스트라 알고리즘) 최단경로 알고리즘

🌼 Dijkstra Algorithm(다익스트라 알고리즘) 최단경로 알고리즘

🌼 최단 경로 알고리즘

• 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.
• 다양한 문제 상황
  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 모든 지점까지의 최단 경로
• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

 

🌼 다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

• 특정 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작
  • 현실세계의 도로는 음의 간선으로 표현되지 않음
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복

 

🌼 다익스트라 동작 과정

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 서리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3번과 4번의 과정을 반복한다.

 

🌼 다익스트라 알고리즘의 특징

• 그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
  • 한 다계당 하나의 노드에 대한 최단거리를 확실히 찾는 것
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단거리 정보가 저장된다.
  • 완변한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.

 

🌼 다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법

• 단계 마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)

from sys import stdin
input = stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for _ in range( n + 1 )]

# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * ( n + 1 )

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True

    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]

    # 시작 노드를 제외한 전체 n -1 개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

 

 

🌼 다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법 - 성능 분석

• 총 O(V)번에 걸쳐서 최단거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형탐색
• 따라서 전체 시간복잡도는 O(V^2)이다.
• 일반적으로 코딩테스트의 최단경로 문제에서 전체 노드의 수가 5000개 이하 이면 이 간단한 구현 방법으로도 가능하다.
  • 그러나 노드가 10000개 이상이라면?
    • heapq 자료구조를 이용해야 한다.

🌼 우선순위 큐 (Prioirity Queue)

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.

 

🌼 힙 (Heap)

• 우선순위큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.
• 최소힙(Min Heap)과 최대힙(Max Heap)이 있다.
• 다익스트라를 포함해 다양한 알고리즘에 사용된다.

 

🌼 힙 라이브러리 사용 예제: 최소힙

import heapq

def heapsort(iterable):
	h = []
    result = []
    
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, value)
	for i in range(len(h)):
    	result.append(heapq.heappop(h))
	return result
    
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)

# [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

 

🌼 다익스트라 알고리즘 - 개선된 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드중에 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(heap) 자료구조를 이용한다.
• 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다
  • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
  • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.

import heapq
from sys import stdin

input = stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for _ in range(n + 1)]

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한 이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print('INFINITY')
    else:
        print(distance[i])